Un motor DC de 12 V, explicado con tres ecuaciones

Los motorreductores de 12 V como este mueven puertas automáticas, bandas transportadoras y robots. Normalmente se les manda un PWM y ya. Pero para controlarlos bien (arranques suaves, detectar si se trabaron, dimensionar la fuente) hay que saber cómo responden en el tiempo: cuánta corriente piden al arrancar, cuánto tardan en llegar a su velocidad y cuánta velocidad pierden con carga. Para motores genéricos, el fabricante casi nunca publica esos datos.

Relación con Ingeniería en Sistemas. El proyecto es un pequeño “gemelo digital”, es decir, un programa que imita a un objeto físico. Integrar ecuaciones, ajustar parámetros por mínimos cuadrados y mostrarlo todo en una interfaz es trabajo de software. La física dice qué programar y cómo saber si el resultado es correcto.

De la fuerza al par

La fuerza sobre un conductor es F⃗ = i·ℓ⃗ × B⃗, que en magnitud da F = B·i·ℓ cuando ℓ ⟂ B. Cada conductor del rotor está a una distancia r del eje. Si se suman los n conductores que están bajo los polos, τ = n·B·ℓ·r·i = K_t·i. Los factores n, B, ℓ y r dependen solo de la construcción, así que K_t es constante en un motor de imanes permanentes.

De la inducción a la fem inversa

Los conductores se mueven con v = ω·r dentro del campo. Por Faraday se induce ε = B·ℓ·v en cada uno, y en total ε = n·B·ℓ·r·ω = K_e·ω. Por Lenz se opone a la corriente. Por eso el motor pide mucha corriente al arrancar (ω = 0, sin fem) y poca cuando ya va rápido.

Unidades de K

V·s/rad = (J/C)·s/rad = J/(A·rad) = N·m/A. Si un fabricante da K_e en V/krpm, se multiplica por 60/(2π·1000) ≈ 0.00955 para pasarla a SI.

Circuito RL con el rotor quieto

Con ω = 0 queda un circuito RL clásico: i(t) = (V/R)·(1 − e^−t/τ_e), con τ_e = L/R.

La caja reductora

ω_salida = ω/N, τ_salida = η·N·τ y J_{vista desde el motor} = J_rotor + J_carga/N². Todo el modelo se escribe en el eje del motor, y la velocidad que mide el encoder en la salida se multiplica por N. La inercia de lo que esté en la salida casi no cuenta (se divide entre N²). La fricción de los engranes y el roce del eje del encoder sí cuentan, y aparecen como τ_c.

PWM

El módulo conecta y desconecta los 12 V muy rápido. Con ciclo de trabajo D, el promedio es V_prom = D·V_fuente. Si el periodo del PWM es mucho menor que L/R, la inductancia suaviza la corriente y el motor responde al promedio.

Balance de energía

Si se multiplica la ecuación eléctrica por i y la mecánica por ω: V·i = R·i² + d/dt(½Li²) + d/dt(½Jω²) + (bω + τ_c)·ω + τ_L·ω. Es decir, la potencia de la fuente se va en calor, energía magnética, energía cinética, fricción y trabajo útil.

* L requiere un medidor LCR; se usa un valor típico. Casi no afecta: cambia solo el primer milisegundo de la corriente.

Por qué tanh en la fricción seca

La fricción seca real vale τ_c·sgn(ω), que salta de −τ_c a +τ_c, y ese salto hace oscilar a cualquier integrador. tanh(ω/ω_s) con ω_s = 0.5 rad/s hace el mismo cambio de forma continua, y por encima de unos pocos rad/s vale 1.

Régimen permanente

Con las derivadas en cero: V = R·i + K·ω y K·i = b·ω + τ_c + τ_L. Se despeja i de la primera y se sustituye: ω_ss = (K·V − R(τ_c + τ_L))/(K² + R·b) e i_ss = (V − Kω_ss)/R. Al arrancar (ω = 0), la corriente tiene como límite V/R.

Polos y constantes de tiempo

Con la transformada de Laplace (sin fricción seca) sale el polinomio característico L·J·s² + (L·b + R·J)·s + (R·b + K²) = 0. Tiene dos raíces reales y muy separadas: la rápida (≈ −R/L) es la parte eléctrica y la lenta es la mecánica. Si L es pequeña, se sustituye i = (V − Kω)/R en la ecuación mecánica y queda J·dω/dt + (K²/R + b)ω = K·V/R − τ_c. Es de primer orden, con τ_m = J·R/(K² + R·b) y solución ω(t) = ω_ss(1 − e^−t/τ_m). La fricción seca baja ω_ss, pero no cambia τ_m.

La corriente también sigue a la parte mecánica: después del pico baja hacia i_ss con la misma τ_m. Por eso el osciloscopio, que mide corriente, sirve para medir J.

Hay dos formas. Opción 1: editar datos/mediciones.js, cambiar "ejemplo": true por false y recargar la página. Opción 2: cargar los CSV de las plantillas; el programa reconoce el tipo por los encabezados y acepta punto y coma con coma decimal (Excel en español).

Para publicarlo, se copia la carpeta completa a public_html.

• Young y Freedman, Física universitaria, vol. 2. Pearson: fuerza magnética, inducción e inductancia.
• Serway y Jewett, Física para ciencias e ingeniería, vol. 2. Cengage.
• Ogata, Ingeniería de control moderna. Pearson: modelado de motores DC.
• Chapra y Canale, Métodos numéricos para ingenieros. McGraw-Hill: Runge-Kutta y mínimos cuadrados.